k*(k+1)*(k+2)*(k+3)+1=k*(k+1)*(k+2)*(k+3)+2-1=k*(k+1)*(k+2)*(k+3)+ [ (k+1)*(k+2)-k*(k+3) ]-1= (k+1)*(k+2)* [ k*(k+3)+1 ]- [ k*(k+3)+1] = [(k+1)*(k+2)-1] * [k*(k+3) +1]

док-тво что [(k+1)*(k+2)-1] =[k*(k+3) +1]:
[(k+1)*(k+2)-1 = k^2+3k+1 = k*(k+3) +1

если хочешь знать как я пришла к разложению - спрашивай ;)